SV – Matematik, lång lärokurs

I den här uppgiften ska du endast skriva in de slutliga resultaten av uträkningarna utan mellansteg och motiveringar i svarsfälten. Svaret på varje deluppgift är ett heltal.

I uppgiften kan du inte använda skärmdumpar eller formeleditor. Svaret på varje deluppgift har maximilängden 5 tecken. Svaren bedöms med hjälp av dator, och om instruktionerna inte följs kan det leda till poängavdrag.

Då man löser ekvationer används ofta den distributiva lagen, dvs. man avlägsnar en parentes genom multiplikation eller tar ut en gemensam faktor;

4(x+1)=4x+4

är ett exempel på hur man avlägsnar en parentes genom multiplikation och

4x+4=4(x+1)

är ett exempel på hur man tar ut en gemensam faktor.

1. Lös ekvationen

   (2x+1)(x-6)=0

   och ekvationen

   (2y+1)(y-6)=-6

   på olika sätt, så att du löser den ena ekvationen genom att avlägsna parenteser genom multiplikation och den andra utan att avlägsna parenteser. (6 p.)

2. Lös ekvationen

   5(7x-2)+7(7x-2)=12

   och ekvationen

   5(7y-2)+7(7y+2)=12

   på olika sätt, så att du löser den ena ekvationen genom att avlägsna parenteser genom multiplikation och den andra utan att avlägsna parenteser. (6 p.)

1. Förenkla uttrycket (a^2+\sqrt{2}\,ab+b^2)(a^2-\sqrt{2}\,ab+b^2). (6 p.)

2. Vi vet att det för funktionen

   f(x)=Ae^{2x}+B\cos (3x)

   gäller att f(0)=4 och f'(0)=5. Bestäm värdena på konstanterna A och B. (6 p.)

Graferna till polynomen f(x)=(x-2)(x+2)(x-1) och g(x)=-2(x-2)(x+2)(x+1) skär varandra i tre punkter (2, 0), (-2, 0) och (x_0, y_0), där -2<x_0<0.

1. Bestäm skärningspunkten (x_0, y_0). (4 p.)

2. Beräkna arean av det område som begränsas av graferna i intervallet [0, 2]. (8 p.)

Välj korrekt alternativ. Svaren behöver inte motiveras. Korrekt svar 1 eller 2 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p.

Den här uppgiften kan lösas approximativt med programvara. Då räcker skärmdumpar eller förklaringar av vilka det framgår vad som gjorts som motivering. Uppgiften kan även lösas algebraiskt genom uträkning.

Anta att r>0. Parabeln y=x^2 och cirkeln x^2+(y-2)^2=r^2 tangerar varandra i två punkter. Bestäm arean av det område som begränsas av parabeln och cirkeln. Ange svaret med två gällande siffrors noggrannhet.

1. En godispåse innehåller 22 salmiakkarameller och 19 fruktkarameller. Eri tar tre karameller ur påsen. Med vilken sannolikhet är alla tre fruktkarameller? (6 p.)

2. Alla karameller som Eri tagit ur påsen är fruktkarameller, varvid påsen innehåller 22 salmiakkarameller och 16 fruktkarameller. Kura tar nu fem karameller ur påsen. Med vilken sannolikhet finns det bland dessa fem karameller minst en salmiakkaramell och minst en fruktkaramell? (6 p.)

Ge ett exempel på en kontinuerlig funktion f\colon\mathbf R\to \mathbf R som inte är deriverbar i punkten x=1. Motivera med hjälp av differenskvoten

\frac{f(x)-f(1)}{x-1}

varför funktionen inte är deriverbar i punkten x=1. Motivera dessutom varför funktionen är kontinuerlig.

Vi undersöker den del av enhetscirkeln som ligger i första kvadranten, dvs. det område B som definieras av villkoren 0\le x\le 1 och 0\le y \le \sqrt{1-x^2}. Vi uppskattar arean av området B med trapetsregeln och mittpunktsregeln. Med mittpunktsregeln avses rektangelregeln, där rektangelns höjd beräknas i mittpunkten av delintervallet.

Välj tre av följande påståenden och avgör om de är sanna eller falska:

• Påstående 1. Med mittpunktsregeln kan man få en uppskattning som är större än den verkliga arean av området B.

• Påstående 2. Med mittpunktsregeln kan man få en uppskattning som är mindre än den verkliga arean av området B.

• Påstående 3. Med trapetsregeln kan man få en uppskattning som är större än den verkliga arean av området B.

• Påstående 4. Med trapetsregeln kan man få en uppskattning som är mindre än den verkliga arean av området B.

Kom även ihåg att motivera ditt svar.

En skulptur som är placerad i en park är konstruerad av järnrör som utgör kanter till en geometrisk figur enligt figur 10.A. Skulpturens övre del är en pyramid och den nedre delen är ett rätblock som har en kvadratisk basyta. Man har för avsikt att bygga en skulptur av samma typ på gården till ett vetenskapscentrum där underlaget är plant. I den skulpturen ingår även den kvadratiska bottnens ram av järnrör i rätblockets ram (bottnen syns inte i figuren). Den nya konstruktionen ska uppfylla följande villkor: konstruktionens inre volym är 21 kubikmeter och den övre delens (pyramidens) höjd är hälften av den nedre delens höjd. Vilken är den minsta möjliga totala längden järnrör L som behövs för denna konstruktion?

I uppgiften antas att hela längden järnrör L kan användas för konstruktionen. Material som används till skarvar behöver inte beaktas. Ange svaret i meter med två gällande siffrors noggrannhet.

1. Vektorerna \overline{a} och \overline{b} i planet uppfyller ekvationsparet

   \begin{cases}(\overline{a} + \overline{b}) \cdot (\overline{a} - \overline{b}) = 2\\ 2\, \overline{a} \cdot \overline{a} + 3\, \overline{b} \cdot \overline{b} = 5. \end{cases}

   Bestäm längderna på vektorerna \overline{a} och \overline{b}. (5 p.)

2. Vektorerna \overline{a} och \overline{b} i deluppgift 1 uppfyller dessutom ekvationsparet

   \begin{cases}\overline{a} \cdot \overline{b} = \dfrac{\sqrt{11}}{10} \\ \overline{b} \cdot (\sqrt{3}\: \overline{i} - \overline{j}) = \dfrac1{\sqrt{5}}\, . \end{cases}

   Vi betecknar vinkeln mellan vektorerna \overline{a} och \overline{b} med symbolen \varphi och vinkeln mellan vektorerna \sqrt{3}\: \overline{i} - \overline{j} och \overline{b} med symbolen \theta. Bestäm storlekarna på vinklarna \varphi och \theta. (5 p.)

3. Bestäm alla möjliga vektorer \overline{a} som uppfyller villkoren i deluppgifterna 1 och 2, då \overline{b}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\,\overline{j}. (2 p.)

Varje tal inne i Pascals triangel bestäms genom att de två talen ovanför talet adderas (se animationen 12.A). Talen i kanterna av varje rad är ettor.

För talet på rad n och plats k används beteckningen p_{n,k}. Talen i Pascals triangel bestäms rekursivt genom att man sätter p_{n,0}=p_{n,n}=1 för varje n\ge 0 och

p_{n,k}=p_{n-1,k}+p_{n-1,k-1},

då n\ge 2 och 0<k<n. Observera att numreringen för indexen n och k börjar från noll.

Visa med induktion att summan av talen på rad n i Pascals triangel är 2^n, dvs.

\sum_{k=0}^n p_{n,k} = 2^n.

Vi undersöker polynomet

P(x)=x^{2n+1}-(x-n)(x-n+1)\cdots (x+n-1)(x+n),

där n>0 är ett heltal och x ett reellt tal.

Visa att polynomet P(x)

1. har åtminstone ett nollställe (4 p.)

2. har högst 2n-1 nollställen (4 p.)

3. inte har något nollställe x_0\geq n. (4 p.)